SAYILAR
TEMEL KAVRAMLAR
RAKAM:
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere (işaretlere) denir. 0,1,2,.......,9 sembolleri onluk sayma düzeninin rakamlarıdır. .,.,.,.....X....rakamları da romen rakamlarıdır.
SAYI:
Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların bir araya getirilmesine denir. 3,11,-27,XI,D,O,¼,-½ ,.2,.,.,tan15º,log25, 6,02 , 10²³,..... gibi ifadelerdir.
Her rakam bir sayıdır ama her sayı rakam olmayabilir.
SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI
SAYMA SAYILARI
(S) veya (N+) 1,2,3,4,............
DOĞAL SAYILAR
(N) 0,1,2,3,...........
TAM SAYILAR (Z) ......,-2,-1,0,1,2,......... Z-U {0} U Z+ = Z
RASYONEL SAYILAR (Q) Q = Z U {a . b} a.Z , b. Z-{0}
REEL SAYILAR (R) R = Rasyonel + irrasyonel R = Q U {.2,-.3,.,.,.......}
KARMAŞIK SAYILAR (C) C = R U { .-2 , 3+2. , ...... C =Reel+Çift kuvvetleri negatif olan sayılar
S . N . Z . Q . R . C sırasını mutlaka bilmeliyiz.
NOT : Sıfır ne pozitif, ne de negatiftir, nötrdür.
2 ile bölünebilen yani son rakamı {0,2,4,6,8} olan sayılara ÇİFT SAYI denir. 2 ile bölünemeyen yani son rakamı {1,3,5,7,9} olan sayılara TEK SAYI denir. n.Z olmak üzere; çift sayılar (2n) tek sayılar (2n-1) veya (2n+1) ile gösterilir.
T : tek Ç : çift ise ; T±T = Ç TXT = T
T±Ç = T TXÇ = Ç
DZT = T ÇXT = Ç
Ç±Ç = Ç ÇXÇ = Ç
N.N+ için T. = T ve Ç. = Ç
ÖRNEKLER : 1) 7.3¹¹.5²².13 = a ise a tektir. 2) 7.3¹¹.5²².14 = a ise a çifttir. 3) n.Z ise 6n³+79 tektir.
2n5+12 çifttir.
n²+1 bilinemez.
4) a çift doğal sayı ise ;
a5+87 çifttir.
a4+74 tektir.
a7+3a³+5ª tektir.
5) a,b,c sayıları doğal sayı ise;
4a = 5(b+c) iken b+c çifttir.
6) n.2 ve n.N ise n! çifttir.
SORU : (3-x)7 negatif ve tek sayı ise x sayısı için ne söyleyebiliriz? ÇÖZÜM: Hangi sayıların tek kuvvetleri negatif ve tektir? Negatif ve tek sayıların. O halde; (3-x) negatif ve tektir. 3’ten kendisinden büyük bir sayı çıkarılmalı ki sonuç negatif olsun. Demek ki x pozitiftir. Ayrıca T-x =T ise x çifttir.
57
SORU : x.y.z6< 0
x .z < 0
x.
y³.z > 0 ise ;
x,y,z sayılarının işaretlerini bulunuz.
ÇÖZÜM :
x .z < 0
x. y³.z > 0 o halde y³<0 } y<0 ve y7<0
57
x.y.z6< 0 . x5 .(-).(+) < 0 . x5 >0 . x>0
x .z < 0 . (+).z < 0 . z < 0
(x,y,z) = (+ , -, -)
ARDIŞIK SAYILAR
Belli bir kurala göre ardarda gelen sayılara ardışık sayılar denir. Tam sayılarda n’nin ardışığı = n+1 Tek sayılarda n’nin ardışığı = n+2 1+x²+x4+x6 ‘da x²’nin ardışığı = x
ÖRNEK :
ab-a=2 c-a=4 c-b=2
a-b= -2 a-c= -4 b-c= -2
SORU : Ardı.ık 7 tane teksayının toplamı k ise ikinci sayının k cinsinden de.eri nedir?
ÇÖZÜM : Ardı.ık sayıların toplamı sayı adedine bölünürse,ortanca sayı bulunur.Yani ortanca sayı k/7 dir. Ardı.ık teksayıların aralarında 2 fark oldu.u için; ortanca ile ikinci sayı arasında fark vardır. .kinci sayı bu halde (k/7 – 4) (k/7-4) (k/7)(k/7+2)(k/7+4)(k/7+6)
ARDIŞIK SAYILARIN SONLU TOPLAMLARI
Ardışık iki terimi arasındaki fark sabit olan sayı dizilerinin terimlerinin toplamı =
( ilk terim+son terim)x(terim sayısı)
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Terim sayısını da şuradan bulabiliriz :
Son terim – ilk terim
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ortak fark¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + 1
Bu iki formülü şöyle düzenleyelim:
İlk terim : m
Son terim : n
Ortak fark : k
Toplam : T
Toplam( T ) = (n + m).(n - m + k ) (Aspirin metodu)
2.k
ÖRNEK : 52+55+58+61+..........+301=?
ÇÖZÜM :
(301+52)(301-52+3) 353.252
T = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2.3¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =¯ ¯ ¯ ¯ 6¯ ¯ ¯ =14826
n n + )1
(
1+2+3+............+n =
2
İSPAT :
1+2+3+....................+(n-2)+(n-1)+n
| | |------n+1----------| | |
| |-----------n+1 ---------------| |
|-------------n+1----------------------|
Baştan ve sondan alınan her bir terimin toplamı yukarıda gördüğünüz gibi (n+1) oluyor.(n+1) sayısı ikişer tane sayıdan oluştuğundan n tane sayıdan n/2 tane (n+1) olu.abilir.n/2 tane (n+1) in toplamı da n(n+1) dir.
¯ ¯ 2¯ ¯ ¯
2+4+6+................+2n = n(n+1)
İSPAT :
2+4+6+......+2n=2(1+2+3+........+n)
(
=2. n n + )1 = n(n+1)
2
1+3+5+................+2n-1 = n² .SPAT :
1+3+5+.....................+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)
| | |..........2n................. | | |
| |...............2n...........................| |
|.....................2n......................................|
Yukarıda kaç tane terim olduğunu bulursak, onun yarısı olduğu görülmediğinden, sayıların her birine 1 ekleyelim. Sayılara 1 eklemekle adedi değişmez. Sonra 2 parantezine alalım;
2 4 6 ........2n-4 2n-2 2n
2 (1 2 3 .........n-2 n-1 n )
Demek ki ; n tane sayı varmı..O halde n/2 tane 2n vardır.n/2n.2n = n2
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1’den büyük tamsayılara asal sayı
denir.1’den büyük olup asal olmayan sayılara da bileşik sayı denir.Asal sayılar : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,............ Unutmayalım ki ; 1 asal sayı değildir.En küçük asal sayı 2’dir.2’den başka çift sayı
olan asal sayı yoktur. Negatif sayılar asal sayı olamaz.
ARALARINDA ASAL SAYILAR
1’den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara denir.Diğer bir deyişle; a ve b sayılarını a/b şeklinde yazdığımızda, daha fazla sadeleştiremiyorsak, a ve b sayıları aralarında asaldır denir.
ÖRNEK : 7 ile 13 , 4 ile 15 , 32 ile 65
ÖRNEK : (2x-y) ile (3x+y) sayıları aralarında asaldır.
2x - y 8
=
ise x=? y=?
3x + y 12
ÇÖZÜM : Bu iki sayı aralarında asal olduğundan kesri en sade haline getirmeliyiz.
2x - y 2
=
Buradan 2x-y=2 ve 3x+y=3
3x + y 3 diyebiliriz.Dikkat edin ; aralarında asal demeseydi bunu yapamazdık , çünkü 2x-y=200, 3x+y=300 de olabilirdi.Neyse; 2x-y=2 5x=5 . x=1 ± 3x+y=3 x=1 ise 2.1-y=2 . y= 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Bir tamsayının kaç tane pozitif bölenini bulmak istiyorsak, o sayıyı asal çarpanlarına
ayırıp, asal çarpanların üslerine 1 ekleyip çarpmalıyız. Mesela;
24=23.31 => (3+1)(1+1)=8
24’ün 8 tane pozitif böleni vardır. Bir sayının pozitif böleni kadar negatif böleni olduğundan ,
pozitif bölen sayısını 2 ile çarparsak o tamsayının tüm bölenleri sayısını bulmuş oluruz.
ÖRNEK : 144=24.32 => (4+1)(2+1)=15
144’ün 15 pozitif, 15 negatif böleni vardır. Bölenlerinin ikisi (2ve3) asaldır.28 tanesi asal
değildir.
ÖRNEK : 1112’nin kaç tane asal olmayan böleni olduğunu bulalım.
1112=23.1391 => (3+1)(1+1)=8 => 2.8=16
16 tane böleni var..ki tanesi (2 ve 139) asal, 14 tanesi asal değildir.
ÖRNEK : 64n sayısının 623 tane asal olmayan pozitif böleni var ise n=?
ÇÖZÜM : 64n=24n.34n iki tane (2 ve 3) asal çarpanı var.Pozitif bölen sayısı 625 oluyor. (4n+1)(4n+1)=625=25.25 => 4n+1=25 => 4n=24 => n=6
FAKTÖRYEL (ÇARPANSAL)
Bir doğal sayının faktöryeli; o sayı ve ondan küçük tüm doğal sayıların (0 hariç) çarpımıdır.
n! = 1.2.3.4...................(n-2).(n-1).n
0!=1
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
ÖRNEK : 1) 100! = 100.99.98! = 9900
¯ 98!¯ ¯ ¯ ¯ 98!¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2) 48! + 47! = 47!.[48+1] = 47!.49 3) 12! + 10! = 10! [12.11+1] = 1330
¯ 11!+9!¯ ¯ ¯ ¯ 9! [11.10+1]¯ ¯ ¯ 111¯ ¯
ÖRNEK : 49! tek midir , çift midir?
ÇÖZÜM : 2 ve daha büyük doğal sayıların faktöryelleri çifttir , çünkü eni sonu gelip 2 ile çarpılacak.2 ile çarpılan her sayı çifttir.
49! = 49.49.47.46................5.4.3.2.1
ÖRNEK : 49! ‘in son rakamı kaçtır?
ÇÖZÜM : 5 ve daha büyük doğal sayıların faktöryellerinin son rakamı sıfırdır.Çünkü bu faktöryellerin içinde mutlaka 5 ve 2 çarpanı vardır.Yani 10’un bir katıdırlar.
ÖRNEK : 49! ‘in sondan kaç basamağı sıfırdır?
ÇÖZÜM : içinde kaç tane 5 çarpanı varsa , o kadar sıfır vardır.Çünkü içinde her 5 ile eşleştirebileceğim kadar 2 var.Sayıyı devamlı 5’e bölersek, içinde kaç tane 5 çarpanı olduğunu buluruz ; 49| 5
¯ 9¯|5 9+1 = 10
¯ 1¯ SORU : 24!’in içinde kaç tane 6 çarpanı vardır?
ÇÖZÜM : Bu sefer içinde ki 3 çarpanı adedini bulmalıyız.Çünkü 3 az, 2 fazla.Her 2’ye bir 3 bulamam, ama her 3’e bir 2 bulurum.O halde devamlı 3’e böleceğiz. 24| 3
¯ 8¯|3 8+2 = 10
¯ 2¯
SORU : 42!’in içinde kaç tane 8 çarpanı vardır?
ÇÖZÜM : 8 sayısı, 3 tane 2’nin çarpımında oluştuğundan , 42!’in içinde kaç tane 2 çarpanı
varsa ,
onun üçte biri kadar 8 çarpanı vardır.
42| 2
¯ 21¯ |2 21+10+5+2+1= 39
¯ 10¯| 2
¯ 5¯ |2
¯ 2¯ |2
¯ 1¯
39 tane 2 çarpanı varsa, 39/3=13 tane 8 çarpanı vardır.
ÖZET: a!’in içinde kaç tane n çarpanı vardır diye sorduğu zaman ; n asalsa a’yı devamlı n’ye
böleceğim; n bileşikse en büyük asal çarpanına devamlı böleceğim; n bir tam kare, tam küp, ...
ise a’yı devamlı n’nin en büyük asal çarpanına bölüp, çıkan sonucu, tamkareyse 2’ye, tam
küpse 3’e,....böleceğim.Yukarıda ki sorular şöyle de sorulabilir, halbuki cevabı aynıdır;2
24! =p m,p. N
¯ 6m¯ ¯ m’nin en büyük değeri kaçtır?
Çözüm aynı yani cevap yine 10.
SORU : 90.n=p2 (n,p. N+) n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
CEVAP : 90 sayısı en küçük hangi sayma sayısı ile çarpılırsa, sonuç yine başka bir sayma
sayının karesi olur? Sorunun meali bu.
90=21.32.51 => 21.32.51.n=p2 Í
min n=21.51 Í n=10
SORU : 90.n=p3 (n,p. ¶N+) n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
CEVAP : 21.32.51.n=p3 Í
min n=22.31.52 Í n=300
SORU : 90.n2=p3 (n,p. ¶N+) n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
2
CEVAP : 22.32.52.n=p3 Í
min n2=24.34.54 Û min n=22.32.52 Í n=900 Û
SORU : 20.n7=p9 (n,p. ¶N+) n’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
7
CEVAP : 22.51.n=p9 Í
min n7=27.535 Ímin n=2.55
C.tesi Ekim 04, 2008 10:12 pm
